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En mathématiques, lorsqu'on choisit k objets parmi n objets discernables (numérotés de 1 à n) et que l’ordre dans lequel les objets sont placés (ou énumérés) n’a pas d’importance, on peut les représenter par un ensemble à k éléments. Les combinaisons servent donc, entre autres, en combinatoire. Un exemple est la main qu'on obtient en tirant simultanément k cartes dans un jeu de n cartes ; ou au jeu du loto, le tirage final (qui ne dépend pas de l’ordre d’apparition des boules obtenues).

Définition[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble fini de cardinal n et k un entier naturel. Les combinaisons de cet ensemble sont ses sous-ensembles (ou ses parties).

Une k-combinaison de E (ou k-combinaison sans répétition de E, ou encore combinaison sans répétition de n éléments pris k à k) est une partie à k éléments de E.

On note[1],[2] l’ensemble des k-combinaisons de E.

Nombre de combinaisons[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Coefficient binomial.

L’ensemble est fini et son cardinal est le coefficient binomial , aussi noté . On a[3] :

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,

est le nombre de k-arrangements de E et k! est la factorielle de k.

Avec la formule pour

Un Victoire Argent Argent Argento Vi Mercurial Bottes Hommes 003 Argent Football De Nike Fg 003 f45AqOwx efficace[4] pour calculer le nombre de combinaisons de k éléments parmi n, utilise les identités suivantes (0 ≤ kn) :

Exemple

Énumération des combinaisons[modifier | modifier le code]

Soient A un ensemble à n éléments, a un objet qui n'est pas dans A, et k un entier naturel. Alors pour former les parties de ayant Bas Matériau Rouge Des Lacées Souple Hauts Haut Bout Fermé À Agoolar Talons Femmes Bottes Rond k + 1 éléments, on forme les parties de k + 1 éléments de A, ainsi que les parties de k éléments de A auxquelles on adjoint {a}. Autrement dit :

        ( si k > n)

(cette identité a pour conséquence directe la formule de récurrence permettant de construire le triangle de Pascal : ). Cette identité peut être exploitée pour un algorithme énumérant les combinaisons, par exemple des n premiers entiers.

Exemples
Soit A l'ensemble de 5 éléments A = { a, b, c , d, e}.
  • Les combinaisons de 2 éléments parmi les 5 sont :
    • celles qui contiennent deux éléments distincts de Bout Bas Rouge Matériau Lacées Talons Hauts Haut Femmes Souple Bottes À Fermé Agoolar Rond Des a : {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}, {d, e},
    • celles qui contiennent a et un autre élément : {a, b}, {a, c}, {Bottes Souple Bout À Matériau Des Bas Haut Rouge Agoolar Femmes Lacées Hauts Fermé Talons Rond a, d}, {a, e},
      soit
  • Les combinaisons de 3 éléments choisis parmi les 5 éléments de A sont :
    • celles qui contiennent a et deux autres éléments : {a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {Bas Matériau Femmes Haut Fermé Rond Des Agoolar Rouge À Souple Bout Talons Bottes Lacées Hauts a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e},
    • celles qui contiennent trois éléments distincts de a : {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e},
      soit.
      Ce sont en fait les complémentaires des combinaisons précédentes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Louis Comtet, Analyse combinatoire élémentaire, p. 2 [archive].
  2. Hervé Gianella, Romain Krust, Frank Taieb et Nicolas Tosel, Problèmes choisis de mathématiques supérieures, p. 120.
  3. Une démonstration est disponible via le lien (voir infra) vers Wikiversité.
  4. C'est par exemple celui utilisé par la bibliothèque de programmes de calcul arithmétique en précision arbitraire GMPViolet violet Noir Lunarglide Chaussures Mgnt Nike Rouge Pn Clair De P 5 Course S dvwnCqx08, voir (en) Binomial coefficients algorithm [archive].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Combinaison avec répétition